Les conjectures mathématiques et l’informatique

Pour cette 9e semaine des mathématiques, le CNRS propose un tour d’horizon de conjectures mathématiques. On les soupçonne d’être vraies, mais elles n’ont pas été démontrées. Cela ne les empêche pas d’avoir des conséquences sur notre vie numérique. N’ayez pas peur, le sujet est accessible et compréhensible par tout le monde… dans l’ensemble.

Cette semaine restera certainement dans les annales comme celle de l’annonce de la fermeture des crèches, écoles, collèges, lycées et université en France pour une durée indéterminée à cause de la pandémie Covid-19. Dans un registre différent, c’est aussi la semaine des mathématiques organisée par le ministère de l’Éducation nationale.

Cette 9e édition a débuté lundi 9 mars et se terminera dimanche, avec le Pi Day sur l’avant-dernier jour. Demain nous serons en effet le 14 mars, soit le 3.14 pour reprendre l’écriture des Américains, ce qui correspond aux trois premiers chiffres de Pi. Il s’agit pour rappel d’un nombre irrationnel – son écriture décimale n’est ni finie ni périodique – que l’on soupçonne fortement d’être un nombre univers. Le CNRS lui a récemment consacré un article complet.

• Pi Day : c'est la fête du nombre Pi, un irrationnel que l'on retrouve si souvent

Quoi qu’il en soit, cette neuvième édition a pour thème : « Mettons en scène les mathématiques ». Tout un programme avait été préparé, mais il a lui aussi été touché par la pandémie. De nombreuses ressources sont néanmoins disponibles en ligne pour s’amuser avec les mathématiques (nous y reviendrons).

De son côté, le CNRS part « à l’assaut des grandes conjectures mathématiques » dans son Journal. Le centre national de la recherche scientifique compare les conjectures à « des « phares » qui guident les mathématiciens », ou à « des sommets à atteindre, mais pour y parvenir il faut se frayer un chemin et acquérir la connaissance la plus fine de tout ce qui se trouve sur sa route ».  Depuis plusieurs années, l’informatique vient aussi en aide aux mathématiciens et vice-versa.

Des énoncés simples pour de mystérieuses et complexes conjectures 

Première chose à savoir, la définition d’une conjecture : il s’agit d’une « hypothèse formulée sur l'exactitude ou l'inexactitude d'un énoncé dont on ne connaît pas encore de démonstration », selon le Larousse. Elles existent par centaines et concernent l’ensemble des mathématiques, ajoute le CNRS.

N’allez pas croire qu’il s’agit d’obscures formules que des mathématiciens s’échangent sous le manteau : « les plus mystérieuses d’entre elles s’appuient parfois sur un énoncé des plus simples ». Le Centre national pour la recherche scientifique donne au passage sa définition d’un point de vue mathématique : « des propositions qui ont de fortes probabilités d’être justes, mais que l’on n’arrive pas encore à démontrer ou réfuter ».

Attention à ne pas mélanger hypothèses et conjectures. Dans le second cas, il s’agit d’un « acte majeur par lequel un mathématicien s’engage et décide de mettre une question sur le devant de la scène pour encourager ses collègues à y réfléchir. Une conjecture doit donc avoir du sens, être intéressante et mener à quelque chose ». 

Il existe également certaines questions ne pouvant pas être tranchées comme vraies ou fausses, ce serait trop simple : « En 1931, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel démontre qu’il existe des énoncés indécidables, c’est-à-dire que l’on ne peut ni confirmer ni infirmer. Un tournant dans l’histoire de la logique ».

Du grand théorème de Fermat à la cryptographie

Un premier exemple avec le grand théorème de Fermat, qui était la conjecture de Fermat jusqu’en 1994. Au 17e siècle, le mathématicien de génie Pierre de Fermat expliquait avoir « trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir », rappelle le CNRS. La proposition en question : il n’existe aucun nombre entier strictement positif tel que x^n + y^n = z^n avec n strictement supérieur à 2.

On pense immédiatement à la formule de Pythagore pour les triangles rectangles : a^2 + b^2 = c^2, et son application la plus courante, notamment en maçonnerie : 3^2 + 4^2 = 5^2, le fameux triangle « 3/4/5 ». La question de la reproductabilité de cette formule avec des puissances supérieures hantait les mathématiciens depuis des siècles.

Il s’agissait alors d’une conjecture – personne n’avait démontré que c’était vrai ou au contraire trouvé un contre-exemple – du moins jusqu’en 1994 avec le mathématicien britannique Andrew Wiles. On l’attendait depuis près de 300 ans cette démonstration et on parle donc désormais du théorème de Fermat-Wiles, avec des applications concrètes dans notre monde connecté : le « théorème de Fermat, qui appartient au domaine mathématique de la théorie des nombres, fournit les méthodes les plus efficaces de cryptographie actuelle ». 

Et voici la conjecture de Syracuse, que l’on peut tester avec ses enfants

Une autre conjecture à la portée de tout le monde est celle de Syracuse, du nom de l’université américaine où le problème a été posé par Lothar Collatz dans les années 30. Le point de départ est n’importe quel entier supérieur à 1 (jusqu’ici tout va bien). S’il est impair on le multiplie par 3 et on ajoute 1, s’il est pair on le divise par 2, on recommence… et c’est tout. On obtient donc une suite de nombre qui se terminerait toujours par 4, 2 et 1 (rien à voir avec le jeu de dés)… c’est du moins ce qu’énonce la conjecture de Syracuse. 

Simple à expliquer, mais cette affirmation est-elle vraie pour quelque soit le nombre de départ ? Telle est la question à laquelle les scientifiques veulent répondre, sans succès. Pour le moment, « les mathématiciens n’ont identifié aucun nombre, aussi grand soit-il, qui ne mène pas à la série 4, 2, 1 », explique le CNRS, mais cela ne prouve pas que c’est le cas pour l’ensemble des entiers.

Mickaël Launay a consacré un épisode de Micmath à cette conjecture, mais aussi à quatre autres : le nombre de Ramsey, les nombres de Lychrel, le nombre chromatique du plan et enfin la persistance multiplicative des nombres. Dans tous les cas, les explications sont accessibles au commun des mortels.

La conjecture de Poincaré : la vérification de la démonstration a nécessité… sept ans

Le CNRS revient aussi sur la conjecture de Poincaré, ou plutôt son théorème, ce qui devrait vous donner un indice sur l’issue du combat : « En 1904, le mathématicien français Henri Poincaré propose une caractérisation de la sphère en trois dimensions ». Nous n’entrerons pas dans les détails, mais la méthode de résolution est par contre intéressante. « Il y a eu une vingtaine de tentatives publiées par des mathématiciens prétendant dans la moitié des cas qu’elle était vraie et dans l’autre, qu’elle était fausse. Toutes ces tentatives ont échoué », explique Gérard Besson, mathématicien à l’Institut Fourier.

« Il faut attendre 1982 et le mathématicien américain William Thurston, qui inscrit la question de Poincaré dans une conjecture plus vaste », là encore on vous passe les détails. Sachez simplement qu’au lieu de penser uniquement à une sphère, la nouvelle conjecture s’intéresse à tous les objets en trois dimensions.

« Cette piste accélère la course à la résolution. L’Américain Richard Hamilton fait une avancée importante en introduisant une nouvelle méthode en 1983 ». La conjecture avait alors déjà 80 ans. Il faudra attendre encore 20 ans pour que la solution soit trouvée : « C’est finalement le Russe Grigori Perelman qui, en 2003, annonce qu’il a franchi la dernière étape. Il met sept ans pour rédiger une démonstration pleine d’ellipses et particulièrement difficile à appréhender pour ses relecteurs. Au moins quatre groupes s’attellent à la vérification, qui dure également sept ans ».

On vous fait grâce des détails, qui ne tiennent eux non plus pas dans la marge d’un cahier.

Quand Grigori Perelman refuse la médaille Fields et un million de dollars

Il s’agit d’un travail d’équipe : « un seul mathématicien parcourt le « dernier mètre », mais avec le témoin transmis par ses prédécesseurs », explique le CNRS. Grigori Perelman marqua les esprits sur ce sujet, refusant la médaille Fields en 2010 et le prix d’un million de dollars attribué par l’Institut Clay pour avoir résolu un des sept problèmes du millénaire. Pourquoi ? Parce qu'il estime que le mérite ne revient pas à lui seul. Il s'est depuis retiré de la communauté mathématique.

Là encore, il y a des conséquences dans l’informatique. « Si le résultat de Perelman n’a pas eu de conséquences au-delà des mathématiques, la méthode introduite par Hamilton a trouvé un écho dans le débruitage des images en informatique », explique le CNRS. Désormais, les mathématiciens sont partis sur un autre « délire » : « les objets fermés en dimension 4, catégorie qui pourrait permettre de caractériser l’Univers ».

Hypothèse de Riemann : « il n’y a pas l’embryon d’une véritable stratégie »

Un dernier exemple avec l’hypothèse de Riemann qui date de 1859 et qui fait elle aussi partie des sept problèmes du millénaire. Là encore, on passera sur l’explication mathématique qui met en scène les nombres premiers (divisibles uniquement par un et eux-mêmes, largement utilisés en cryptographie) et l’analyse complexe (qui porte très bien son nom).

On vous laissera plutôt entre les mains de notre confrère David Louapre de la chaîne Science étonnante :

Dans le cas de Riemann, le principal problème est que les mathématiciens ne savent même pas par quel bout commencer… « Souvent en théorie des nombres, ce n’est pas le dernier pas qui manque, mais le premier. Dans le cas de l’hypothèse de Riemann, on se fonde parfois sur des analogies, mais il n’y a pas l’embryon d’une véritable stratégie », explique le professeur Gérald Tenenbaum à l’Université de Lorraine. 

Ce dernier ajoute que « beaucoup de travaux de recherche s’appuient sur l’hypothèse comme point de départ. Les résultats obtenus sont donc conditionnels. La conjecture possède de nombreuses conséquences remarquables et il suffirait évidemment d’en infirmer une pour la réfuter ». Tel un château de cartes, l’ensemble pourrait alors s’écrouler, mais de nombreux indices tendent à prouver sa véracité : plus de 10 000 millions de valeurs ont notamment été vérifiées numériquement et sont en accord avec l’hypothèse. Néanmoins « ce sont des indices, pas des preuves » rappelle le CNRS.

L’informatique comme aide pour vérifier des preuves mathématiques

Depuis plusieurs années, les chercheurs ne sont pas seuls et peuvent compter sur un allié numérique : « Des outils informatiques, comme le système français Coq, permettent d’écrire et de vérifier des preuves, et apportent des garanties de correction dans des domaines où ces preuves deviennent compliquées ».

Les machines ont ainsi pu valider une ancienne démonstration du théorème des quatre couleurs. Ce dernier est très simple à comprendre : « il affirme qu’il est possible, en n’utilisant que quatre couleurs différentes, de colorier n’importe quelle carte découpée en régions connexes, de sorte que deux régions adjacentes aient toujours une couleur différente ».

« Grâce à ces outils, une de ces démonstrations annoncée en 1976, qui reposait sur des arguments mathématiques et plusieurs milliers de cas calculés pour la première fois par ordinateur, a pu être finalement acceptée », explique le Centre national de la recherche scientifique. 

La démonstration du théorème passait alors aussi par la validation de l’algorithme et de son application sous la forme d’un programme. Un sujet ô combien d’actualité avec les questions liées à l’intelligence artificielle et l’omniprésence des algorithmes dans notre vie de tous les jours, pour le tri des informations, des résultats de recherche, etc.

« Le challenge de vérifier un théorème sur ordinateur est à la fois de vérifier les raisonnements mathématiques logiques, mais aussi les calculs afin de garantir qu’ils répondent à des règles logiques », explique Christine Paulin-Mohring, chercheuse au Laboratoire de recherche en informatique.

Des pistes d’explorations pour s’amuser  avec les mathématiques

Vous voulez aller encore plus loin dans les méandres des problèmes mathématiques ? Il y a quelques années, le CNRS et l’institut Henri Poincaré ont publié une longue actualité sur les grands problèmes mathématiques, avec une série de liens à la fin classés comme des pistes de ski : de la verte facile à la noire où il faut avoir le cœur bien accroché.

Pour vous « amuser » avec les mathématiques où découvrir des applications auxquelles on ne penserait pas de prime abord, voici une sélection de quelques sites (il en existe bien d’autres, n’hésitez pas à proposer vos idées dans les commentaires) : 

• Accromαth (Institut des sciences mathématiques et Centre de recherches athématiques)
• Images des mathématiques (CNRS)
• Interstices (revue scientifique dont le directeur de publication est le PDG INRIA)
• CultureMATH (Éducation nationale et École Normale Supérieure)
• Jolies Maths (professeur de collège à Saint Germain)

Ce dernier organise d’ailleurs un concours de cryptographie jusqu’au 28 mars, avec « six textes de niveaux très différents, pouvant être décryptés de l’école primaire à l’Université, pour tout public, scolaire ou non ». Des tutos vidéo sous forme de parodies sont également proposés.